Matrizes e operações matriciais

A tabela de notas de três alunos em dois testes pode escrever-se como

$$\begin{bmatrix}12&15\\9&14\\16&11\end{bmatrix}.$$

Cada linha corresponde a um aluno e cada coluna a um teste. A entrada da segunda linha e primeira coluna é 9.

Esta matriz tem tipo $3\times2$: três linhas, duas colunas. Os índices localizam uma entrada. O tipo decide que operações são possíveis: só somas matrizes do mesmo tipo e só multiplicas quando os tipos encaixam.

O que é uma matriz

Uma matriz do tipo $m \times n$ sobre os reais é um quadro com $m$ linhas e $n$ colunas de números reais:

$$A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \dots & a_{mn} \end{bmatrix}.$$

A entrada $a_{ij}$ vive na linha $i$ e na coluna $j$. O tipo indica-se sempre como linhas $\times$ colunas. Uma matriz coluna é como vamos escrever vetores quando multiplicamos por matrizes.

Nome	Condição
Quadrada (ordem $n$)	$m = n$
Linha / coluna	$m = 1$ / $n = 1$
Nula	todas as entradas zero
Identidade $I_n$	quadrada, uns na diagonal principal, zeros fora
Diagonal	quadrada, só a diagonal pode ter não nulos
Triangular superior	zeros abaixo da diagonal
Simétrica	$a_{ij} = a_{ji}$ para todos os pares

A simetria será essencial na página de valores próprios. Por exemplo:

$$I_2 = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}, \qquad I_3 = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}.$$

Soma e produto por escalar

A soma de duas matrizes do mesmo tipo faz-se entrada a entrada, e o produto por um escalar $k$ multiplica todas as entradas por $k$:

$$A + B = [a_{ij} + b_{ij}], \qquad kA = [k a_{ij}].$$

Com as matrizes

$$A = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 3 \end{bmatrix}, \qquad B = \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 4 & 2 \end{bmatrix},$$

a soma e o dobro dão

$$A + B = \begin{bmatrix} 3 & 0 \\ 4 & 5 \end{bmatrix}, \qquad 2A = \begin{bmatrix} 4 & 2 \\ 0 & 6 \end{bmatrix}.$$

Somar matrizes de tipos diferentes não faz sentido, tal como somar vetores de dimensões diferentes. Se o enunciado pede $A + B$ e os tipos não coincidem, algo está errado antes de começares a conta.

Produto de matrizes

O produto $AB$ só existe quando o número de colunas de $A$ iguala o número de linhas de $B$. Se $A$ é $m \times p$ e $B$ é $p \times n$, o produto é $m \times n$ e cada entrada combina uma linha de $A$ com uma coluna de $B$:

$$(AB)_{ij} = a_{i1}b_{1j} + a_{i2}b_{2j} + \dots + a_{ip}b_{pj}.$$

Em palavras: multiplicamos as entradas correspondentes da linha $i$ de $A$ e da coluna $j$ de $B$, depois somamos.

Com as matrizes $A$ e $B$ acima, ambas $2 \times 2$, a primeira linha de $A$ com a primeira coluna de $B$ dá $2 \cdot 1 + 1 \cdot 4 = 6$. Repetindo para as quatro posições, obtém-se

$$AB = \begin{bmatrix} 2 \cdot 1 + 1 \cdot 4 & 2 \cdot (-1) + 1 \cdot 2 \\ 0 \cdot 1 + 3 \cdot 4 & 0 \cdot (-1) + 3 \cdot 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 6 & 0 \\ 12 & 6 \end{bmatrix}.$$

Repara que a ordem interessa: no sentido contrário,

$$BA = \begin{bmatrix} 1 \cdot 2 + (-1) \cdot 0 & 1 \cdot 1 + (-1) \cdot 3 \\ 4 \cdot 2 + 2 \cdot 0 & 4 \cdot 1 + 2 \cdot 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & -2 \\ 8 & 10 \end{bmatrix} \neq AB.$$

O produto de matrizes não é comutativo em geral. Nunca troques a ordem para “simplificar”, porque o resultado muda: $AB$ e $BA$ acima nem sequer partilham entradas fora da diagonal.

O que vale sempre:

• associatividade: $A(BC) = (AB)C$;
• distributividade: $A(B + C) = AB + AC$;
• identidade: $AI_n = I_m A = A$ para $A$ do tipo $m \times n$.

Uma matriz também é uma transformação geométrica: aplicada aos pontos do plano, mexe com eles. A matriz $A$ desta página leva o quadrado unitário num paralelogramo de área $6$. Na página de determinantes verás por que essa área é $|\det A|$, com $\det A = 2 \cdot 3 - 1 \cdot 0 = 6$:

Ver o que as colunas fazem

No simulador, cada coluna indica para onde vai um dos versores $(1,0)$ e $(0,1)$. Experimenta três casos, porque cada um mostra um comportamento da área orientada (o determinante, definido na lição de determinantes):

1. Começa por $A=\begin{bmatrix}2&1\\0&3\end{bmatrix}$. O determinante é 6 e a imagem tem área 6.
2. Troca as duas colunas: a área mantém-se, mas o determinante passa a $-6$, porque a orientação se inverte.
3. Torna a segunda coluna igual à primeira. A imagem fica sobre uma reta e o determinante é zero.

Transposta

A transposta $A^T$ obtém-se trocando linhas por colunas: a linha $i$ de $A$ passa a ser a coluna $i$ de $A^T$. No exemplo,

$$A^T = \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 1 & 3 \end{bmatrix}.$$

As propriedades que vais usar são $(A^T)^T = A$, $(A + B)^T = A^T + B^T$ e, com atenção à ordem,

$$(AB)^T = B^T A^T.$$

A ordem inverte-se porque as linhas de $AB$ vêm das linhas de $A$, que passam a colunas. Uma matriz quadrada com $A^T = A$ é simétrica; com $A^T = -A$ diz-se antissimétrica.

Matriz inversa

Uma matriz quadrada $A$ de ordem $n$ diz-se invertível (ou não singular) quando existe uma matriz $A^{-1}$ do mesmo tipo tal que

$$AA^{-1} = A^{-1}A = I_n.$$

Se existir, a inversa é única. Nem todas as matrizes quadradas têm inversa.

A matriz nula, por exemplo, nunca é invertível: qualquer produto com ela continua a dar zero, por isso nenhuma candidata a inversa consegue produzir a identidade.

Para matrizes $2 \times 2$ há uma fórmula direta. Se $A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$ e $ad - bc \neq 0$, então[^inversa-det]

$$A^{-1} = \frac{1}{ad - bc}\begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}.$$

O número $ad - bc$ é o determinante de $A$, explicado na lição de determinantes.

Toma $C = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 3 \end{bmatrix}$. O determinante vale $2 \cdot 3 - 1 \cdot 1 = 5$, logo

$$C^{-1} = \frac{1}{5}\begin{bmatrix} 3 & -1 \\ -1 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3/5 & -1/5 \\ -1/5 & 2/5 \end{bmatrix}.$$

Confirmamos multiplicando $C$ pela candidata a inversa:

$$CC^{-1} = \frac{1}{5}\begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 3 & -1 \\ -1 & 2 \end{bmatrix} = \frac{1}{5}\begin{bmatrix} 5 & 0 \\ 0 & 5 \end{bmatrix} = I_2.$$

Para ordens maiores, a inversa calcula-se pelo método de Gauss-Jordan (resolver $AX = I$ em simultâneo) ou pela matriz adjunta, que envolve determinantes. Ambos aparecem nas páginas seguintes. Para já, fixa as propriedades:

$$(A^{-1})^{-1} = A, \qquad (AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}, \qquad (A^T)^{-1} = (A^{-1})^T.$$

Repara que a inversa do produto troca outra vez a ordem dos fatores.

Simetria de uma diferença de produtos

Calcula $AB$, $BA$ e verifica se $C = AB - BA$ é simétrica, com as matrizes $A$ e $B$ do início.

Já temos $AB = \begin{bmatrix} 6 & 0 \\ 12 & 6 \end{bmatrix}$ e $BA = \begin{bmatrix} 2 & -2 \\ 8 & 10 \end{bmatrix}$. Subtraindo:

$$C = AB - BA = \begin{bmatrix} 4 & 2 \\ 4 & -4 \end{bmatrix}.$$

Para $C$ ser simétrica seria preciso $C^T = C$, ou seja, $c_{12} = c_{21}$. Aqui $c_{12} = 2$ e $c_{21} = 4$, por isso não é simétrica.

O traço de $AB-BA$

O traço de uma matriz quadrada é a soma das entradas da diagonal principal. Para $A$ e $B$ acima, $\operatorname{tr}(AB)=6+6=12$ e $\operatorname{tr}(BA)=2+10=12$. Em geral, para matrizes quadradas da mesma ordem, $\operatorname{tr}(AB)=\operatorname{tr}(BA)$, por isso o traço de $AB-BA$ é sempre zero.

Equações com matrizes

Resolver $AX=B$ exige atenção ao lado da multiplicação. Se $A$ é quadrada e invertível, multiplica à esquerda:

$$A^{-1}AX=A^{-1}B\quad\Longrightarrow\quad X=A^{-1}B.$$

Para $XA=B$, multiplicamos à direita e obtemos $X=BA^{-1}$. Se $AXB=C$, com $A$ e $B$ invertíveis, então $X=A^{-1}CB^{-1}$. A ordem faz parte da solução.

Não há divisão por matrizes. Só podes cancelar $A$ num produto se tiveres uma justificação, como a existência de $A^{-1}$. Por exemplo,

$$N=\begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix}\ne0, \qquad N^2=0.$$

Assim, um produto nulo não obriga nenhum dos fatores a ser nulo.

Também não vale a expansão habitual $(A+B)^2=A^2+2AB+B^2$ sem uma hipótese extra. A expansão correta é $A^2+AB+BA+B^2$. Só juntamos os dois termos centrais quando $AB=BA$, isto é, quando os fatores comutam.

Uma identidade que fornece a inversa

Às vezes o enunciado dá uma relação entre potências de $A$, sem dar as entradas. Se $A$ é quadrada e

$$A^2-3A+I=0,$$

podemos rearranjar a igualdade como $3A-A^2=I$. Fatorizando dos dois lados,

$$A(3I-A)=I,\qquad (3I-A)A=I.$$

Assim, $A^{-1}=3I-A$. Não assumimos que a inversa existe para chegar à fórmula: os dois produtos com a identidade provam que existe. Em relações deste tipo, procura isolar uma parcela $I$ e conservar a ordem dos fatores.

Operações elementares como matrizes

Uma operação de linhas pode ser representada por uma matriz elementar, construída aplicando a operação à identidade. Por exemplo,

$$E=\begin{bmatrix}1&0\\-2&1\end{bmatrix}, \qquad E\begin{bmatrix}1&3\\2&5\end{bmatrix} =\begin{bmatrix}1&3\\0&-1\end{bmatrix}.$$

Multiplicar por $E$ à esquerda faz $L_2\leftarrow L_2-2L_1$. A operação inversa é $L_2\leftarrow L_2+2L_1$, por isso $E^{-1}=\begin{bmatrix}1&0\\2&1\end{bmatrix}$. Todas as operações elementares são reversíveis. É essa reversibilidade que permite resolver sistemas por Gauss sem perder soluções.

Potências, simetria e ortogonalidade

Para $A$ quadrada e $k$ inteiro não negativo, $A^0=I$ e $A^{k+1}=A^kA$. Se $A$ for invertível, $A^{-k}=(A^{-1})^k$. Uma matriz diagonal eleva-se entrada a entrada na diagonal, mas uma matriz geral não se eleva entrada a entrada.

Uma matriz real quadrada $Q$ é ortogonal quando $Q^TQ=I$, ou seja, $Q^{-1}=Q^T$. As colunas têm comprimento 1 e são perpendiculares duas a duas, por isso formam uma base ortonormada (o produto escalar define esse comprimento). Por exemplo,

$$Q=\frac1{\sqrt2}\begin{bmatrix}1&1\\1&-1\end{bmatrix},$$

cujas colunas têm norma 1 e são perpendiculares. Não confundas esta condição com simetria ($A^T=A$): $2I$ é simétrica, mas a sua inversa é $\frac12 I$.

O que costuma correr mal

• Multiplicar matrizes sem verificar os tipos e obter uma matriz com o formato errado, ou tentar somar matrizes de tipos diferentes.
• Trocar a ordem de um produto ou de uma inversa de produto: $(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}$, nunca $A^{-1}B^{-1}$ em geral.
• Aplicar a fórmula da inversa $2 \times 2$ sem verificar que $ad - bc \neq 0$, ou trocar os sinais das entradas fora da diagonal.
• Confundir $A^T$ com $A^{-1}$: a transposta existe sempre, a inversa só para quadradas com determinante não nulo.