Qui-quadrado e testes não paramétricos

Os testes $t$ comparam médias de dados numéricos. Mas e perguntas como “o dispositivo influencia a conversão?” ou “estes dados seguem uma binomial?”. Quando os dados são qualitativos (contagens em categorias), a estatística de trabalho é o qui-quadrado, que compara frequências observadas com frequências esperadas sob a hipótese.

A estatística qui-quadrado

Para categorias $i = 1, \dots, k$ com contagens observadas $O_i$ e contadas esperadas $E_i$ sob $H_0$:

$$\chi^2 = \sum_{i=1}^{k} \frac{(O_i - E_i)^2}{E_i}.$$

Cada parcela é o desvio ao quadrado relativizado pelo tamanho esperado: um desvio de 12 pesa mais quando esperavas 38 do que quando esperavas 57. Sob $H_0$ esta estatística segue aproximadamente uma distribuição $\chi^2$ com os graus de liberdade próprios de cada teste. A região crítica é sempre unilateral à direita (valores grandes significam mau ajuste), e a aproximação exige frequências esperadas de pelo menos 5 em (quase) todas as células.

Três testes, uma fórmula

• Ajustamento (goodness of fit): os dados seguem uma distribuição proposta? $H_0$ fixa as probabilidades de cada categoria ($E_i = n\,p_i$), com $k - 1$ graus de liberdade (menos os parâmetros que tiveres de estimar).
• Independência: duas variáveis qualitativas são independentes? Numa tabela $r \times c$, $H_0$ dá $E_{ij} = (\text{total da linha } i \times \text{total da coluna } j)/n$, com $(r-1)(c-1)$ graus de liberdade.
• Homogeneidade: várias populações têm a mesma distribuição da variável? Mesma conta da independência, mas o desenho amostral difere (amostras separadas por população em vez de uma amostra classificada em duas variáveis).

Exemplo: o dispositivo influencia a conversão?

Duzentos utilizadores classificados por dispositivo e conversão:

	Converteu	Não converteu	Total
Telemóvel	45	75	120
Computador	50	30	80
Total	95	105	200

$H_0$: dispositivo e conversão são independentes. As esperadas sob $H_0$: telemóvel e converteu, $120 \times 95/200 = 57$; telemóvel e não, $120 \times 105/200 = 63$; computador e converteu, $80 \times 95/200 = 38$; computador e não, $80 \times 105/200 = 42$. Todas acima de 5, por isso a aproximação vale.

$$\chi^2 = \frac{(45-57)^2}{57} + \frac{(75-63)^2}{63} + \frac{(50-38)^2}{38} + \frac{(30-42)^2}{42} \approx 2{,}53 + 2{,}29 + 3{,}79 + 3{,}43 = 12{,}03.$$

Com $(2-1)(2-1) = 1$ grau de liberdade, o valor crítico a 5 por cento é 3,84. Como $12{,}03 > 3{,}84$, rejeita-se a independência: os dados dão evidência de que a taxa de conversão depende do dispositivo (no computador, 50 em 80; no telemóvel, 45 em 120). Repara que o teste diz que há associação, não porquê: explicar a causa já é trabalho de produto, não de estatística.

A ideia dos testes não paramétricos

Os testes $t$ assumem populações normais (ou amostras grandes pelo Teorema do Limite Central). Quando a amostra é pequena e a normalidade é indefensável, os testes não paramétricos dispensam a distribuição: trabalham com ordens (ranks) ou sinais em vez dos valores. O teste dos sinais, por exemplo, decide sobre a mediana contando quantas observações ficam acima do valor de referência e comparando com uma binomial de $p = 0{,}5$. Pagam a robustez com menos potência: se a normalidade valer, o $t$ deteta mais. A regra de bolso fecha a cadeira: dados numéricos e condições verificadas, testes paramétricos; o resto, qui-quadrado para categorias e não paramétricos para o resto.