Variáveis aleatórias

Na inspeção de dez peças, o resultado é uma sequência de aprovadas e rejeitadas. A variável aleatória $X$ associa a cada sequência o número de falhas, de 0 a 10. Se falharem as peças 1 e 2 ou as peças 4 e 8, obtemos em ambos os casos $X=2$. A distribuição de X reúne as probabilidades de todas as sequências que dão a mesma contagem.

Distribuição discreta

Se os valores possíveis formam um conjunto finito ou contável, a função de probabilidade é $f_X(x)=P(X=x)$. Os valores são não negativos e somam 1. Para calcular a probabilidade de um acontecimento, somam-se as probabilidades dos valores que o satisfazem.

Exemplo. Uma variável tem valores $-1,0,2$ com probabilidades $0,2,c,0,3$. Como a soma deve ser 1, $c=0,5$. Então $P(X<2)=0,2+0,5=0,7$, mas $P(X\le2)=1$. Neste modelo, $P(X=1)=0$.

Distribuição acumulada

A função de distribuição é

$$F_X(x)=P(X\le x).$$

É não decrescente, contínua à direita e tende para 0 e 1 quando x tende para $-\infty$ e $+\infty$. Na variável anterior,

$$F_X(x)=\begin{cases} 0,&x<-1,\\ 0,2,&-1\le x<0,\\ 0,7,&0\le x<2,\\ 1,&x\ge2. \end{cases}$$

O ponto preenchido indica o valor na fronteira; o círculo aberto indica o patamar que termina antes dela. $F_X(0)=0,7$ e $F_X(0^-)=0,2$: a massa no ponto é a diferença, não a altura total.

O salto em $x=0$ tem tamanho 0,5, igual a $P(X=0)$; em geral,

$$P(a<X\le b)=F_X(b)-F_X(a).$$

Para incluir a, subtrai o limite à esquerda: $P(a\le X\le b)=F_X(b)-F_X(a^-)$, onde $F_X(a^-)=P(X<a)$; num modelo discreto, trocar $<$ por $\le$ pode mudar a resposta.

Densidade contínua

Nos modelos contínuos com densidade, $f_X(x)\ge0$ e $\int_{-\infty}^{+\infty}f_X(x)\,dx=1$. As probabilidades são áreas:

$$P(a<X<b)=\int_a^b f_X(x)\,dx,\qquad F_X(x)=\int_{-\infty}^x f_X(u)\,du.$$

Quando a derivada existe, $F_X'(x)=f_X(x)$. Uma altura de densidade pode exceder 1; a área total é que vale 1. Neste modelo, $P(X=x)=0$ para qualquer ponto. Isso não significa que X nunca tome um valor: uma medição cai sempre num ponto, mas cada ponto isolado tem probabilidade nula.

Normalização e mediana de uma densidade

Se $f_X(x)=cx$ para $0<x<2$ e zero fora desse intervalo, a condição da área dá

$$1=\int_0^2cx\,dx=2c\quad\Rightarrow\quad c=\frac12.$$

No interior, $F_X(x)=x^2/4$. Fora dele, F é 0 para $x\le0$ e 1 para $x\ge2$. Portanto,

$$P(1<X<1,5)=\frac{1,5^2-1^2}{4}=0,3125.$$

A mediana populacional m satisfaz $F_X(m)=0,5$, logo $m=\sqrt2$; não é o ponto médio do suporte, pois a densidade dá mais peso a valores elevados.

Valor esperado e variância

O valor esperado é uma média ponderada pela distribuição, não necessariamente um valor que X possa tomar:

$$E(X)=\sum_x x f_X(x)\quad\text{ou}\quad E(X)=\int_{-\infty}^{+\infty}xf_X(x)\,dx.$$

Estas fórmulas requerem integrabilidade do valor absoluto para uma média finita; mais geralmente, $E(g(X))$ obtém-se substituindo x por $g(x)$ na soma ou integral, pois em geral $E(g(X))\ne g(E(X))$.

A variância é

$$\operatorname{Var}(X)=E[(X-\mu)^2]=E(X^2)-[E(X)]^2,$$

com $\mu=E(X)$ e segundo momento finito. O desvio padrão é $\sigma=\sqrt{\operatorname{Var}(X)}$.

Na variável discreta com valores $-1,0,2$,

$$E(X)=(-1)(0,2)+0(0,5)+2(0,3)=0,4,$$ $$E(X^2)=1(0,2)+0+4(0,3)=1,4,$$ $$\operatorname{Var}(X)=1,4-0,4^2=1,24.$$

No exemplo contínuo, $E(X)=\int_0^2x(x/2)dx=4/3$ e $E(X^2)=\int_0^2x^2(x/2)dx=2$. A variância é $2-16/9=2/9$.

Transformar uma variável

Para $Y=aX+b$,

$$E(Y)=aE(X)+b,\quad \operatorname{Var}(Y)=a^2\operatorname{Var}(X),\quad \sigma_Y=|a|\sigma_X.$$

Se X é a variável discreta anterior e $Y=3X-2$, os valores de Y são $-5,-2,4$, com as mesmas probabilidades; a média é $-0,8$ e a variância é $9(1,24)=11,16$.

Para uma transformação não linear, volta à definição, porque a média não passa pela função: se $Y=X^2$, no mesmo exemplo $E(Y)=1,4$, e não $(0,4)^2$. Transformar os dados pode ajudar a analisar a forma, mas transforma também o parâmetro que estás a estudar.