Estatística descritiva

Oito durações de arranque, em segundos, são $2,3,3,4,5,6,7,18$. O valor 18 está afastado dos restantes. Conservamos esta amostra ao calcular o centro, a dispersão e a caixa de bigodes, para perceber o que cada resumo mostra.

Tipos e escalas

Dados categóricos nominais distinguem categorias sem ordem, como o sistema operativo. Dados ordinais têm ordem, como uma gravidade baixa, média ou alta, mas as distâncias entre níveis não são necessariamente iguais. Codificar categorias por números não as torna quantitativas.

Uma variável quantitativa discreta conta, por exemplo o número de falhas. Uma variável quantitativa contínua mede, por exemplo o tempo. A precisão finita do instrumento não transforma o fenómeno subjacente numa contagem.

Numa escala de intervalo, diferenças têm significado mas o zero é convencional, como na temperatura Celsius. Numa escala de razão há zero absoluto, como numa duração; aí faz sentido comparar quocientes. Esta diferença interessa quando usamos medidas relativas de dispersão.

Frequências e gráficos

A frequência absoluta $n_j$ conta observações na categoria ou classe $j$. A frequência relativa é $f_j=n_j/n$ e as relativas somam 1. Frequências acumuladas só têm significado quando existe uma ordem: não se acumulam sistemas operativos por ordem arbitrária.

Um gráfico de barras separa categorias ou valores discretos. Num histograma, as classes são intervalos adjacentes. A área de cada retângulo representa a frequência. Com larguras diferentes, a altura relativa correta é $f_j/h_j$, onde $h_j$ é a largura da classe.

Por exemplo, em 20 durações, as classes $[0,2[$, $[2,4[$ e $[4,8]$ têm contagens 4, 8 e 8. Um valor exatamente na fronteira, como 2, entra na classe que o inclui e fica fora da anterior. As frequências relativas são 0,2, 0,4 e 0,4. As alturas de densidade são 0,1, 0,2 e 0,1 por unidade de tempo. A última classe tem a mesma contagem da segunda, mas o dobro da largura e metade da altura.

A regra de Sturges sugere $k\approx1+\log_2 n$ classes. É um ponto de partida, não uma obrigação. Mudar limites ou larguras pode revelar ou esconder picos. Escolhe limites legíveis, evita sobreposições e inclui o máximo na última classe.

Num diagrama de pontos, cada observação é um ponto sobre o eixo. Com poucos valores, ele mostra repetições e afastados sem escolher classes. Quando há muitos valores, agrupa em classes com limites legíveis, por exemplo $[0,2[$, $[2,4[$ e $[4,8]$.

Localização

Para $n$ observações $x_1,\ldots,x_n$, a média é

$$\bar x=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i.$$

Numa tabela de frequências de valores exatos, usa $\sum_j n_jx_j/n$; numa tabela por classes, substituir cada observação pelo centro da classe dá apenas uma aproximação.

A mediana divide a amostra ordenada ao meio e é menos sensível a extremos do que a média. A moda é um valor de frequência máxima; pode haver várias. Para dados contínuos agrupados, a classe modal depende da divisão em classes. Com larguras diferentes, o pico do histograma depende da densidade, não apenas da contagem.

Quantis tipo 2

Ordena os valores: $x_{(1)}\le\cdots\le x_{(n)}$. Para $0<p<1$, calcula $np$:

$$q_p=\begin{cases} \dfrac{x_{(np)}+x_{(np+1)}}{2},&np\text{ inteiro},\\ x_{(\lfloor np\rfloor+1)},&np\text{ não inteiro}. \end{cases}$$

Os quartis são $Q_1=q_{0,25}$, $Q_2=q_{0,5}$ e $Q_3=q_{0,75}$. O percentil 90 é $q_{0,9}$. Há outras convenções de quantis; um programa com outra definição pode dar um resultado diferente sem ter errado a ordenação.

Dispersão

A amplitude é $x_{(n)}-x_{(1)}$. A amplitude interquartil, $AIQ=Q_3-Q_1$, descreve a extensão da metade central e resiste melhor a extremos.

A variância e o desvio padrão amostrais são

$$s^2=\frac{\sum_i(x_i-\bar x)^2}{n-1} =\frac{\sum_i x_i^2-n\bar x^2}{n-1},\qquad s=\sqrt{s^2}.$$

Estas fórmulas amostrais exigem $n\ge2$. O desvio tem a unidade dos dados; a variância tem essa unidade ao quadrado. O divisor $n-1$ corresponde à variância amostral usada para estimar a variância populacional. Não o substituas por $n$ sem identificar outra definição.

O coeficiente de variação $CV=s/\bar x$, frequentemente em percentagem, compara dispersão relativa para variáveis positivas com zero absoluto e média afastada de zero. Não é uma comparação útil para temperaturas Celsius ou médias próximas de zero.

Caixa, bigodes e extremos

O diagrama de extremos e quartis usa mínimo, $Q_1$, mediana, $Q_3$ e máximo. O diagrama de caixa e bigodes modificado usa as barreiras

$$BI=Q_1-1,5AIQ,\qquad BS=Q_3+1,5AIQ.$$

Os bigodes terminam nas observações mais extremas dentro das barreiras, não nas barreiras. Valores fora delas são assinalados separadamente. São candidatos a investigação, não erros que se possam apagar automaticamente.

Quartis e dispersão das durações

Considera oito durações, em segundos: $2,3,3,4,5,6,7,18$. Estão ordenadas e somam 48, logo $\bar x=6$. A soma dos quadrados é 472:

$$s^2=\frac{472-8\times6^2}{7}=\frac{184}{7}\approx26,2857,\qquad s\approx5,1270.$$

Como $8\times0,25=2$, $Q_1=(3+3)/2=3$. A mediana é $(4+5)/2=4,5$ e $Q_3=(6+7)/2=6,5$. Assim, $AIQ=3,5$ e as barreiras são $-2,25$ e $11,75$. Os bigodes terminam em 2 e 7; 18 fica assinalado fora deles.

A média é superior à mediana por causa da duração 18. A moda é 3. A amplitude é 16. Estes números descrevem aspetos diferentes da mesma amostra; nenhum prova que a população seja normal.

Se convertermos segundos em milissegundos, $Y=1000X$, a média passa a 6000 e o desvio a $1000s$. Em geral, para $Y=aX+b$,

$$\bar y=a\bar x+b,\qquad s_Y=|a|s_X,\qquad s_Y^2=a^2s_X^2.$$

Somar uma constante desloca o centro sem alterar a dispersão. Um fator negativo inverte a ordem, mas nunca produz um desvio padrão negativo.

Efeito de um valor afastado

Se 18 fosse substituído por 8, a soma seria 38 e a média desceria de 6 para 4,75 segundos. A mediana e os quartis manter-se-iam: as posições centrais não mudaram. O desvio desceria para cerca de 2,1213 segundos. A caixa seguinte mostra a amostra original, com 18.