Inferência para proporções

Em 100 peças independentes, 20 falham. A proporção observada $\hat p=0,20$ estima a probabilidade populacional de falha p. Como a contagem muda entre amostras, precisamos de uma margem para a estimativa. Num teste, precisamos também de uma referência calculada sob a hipótese nula.

Intervalo de Wald

O erro padrão estimado é $\sqrt{\hat p(1-\hat p)/n}$. O intervalo aproximado de Wald é

$$\hat p\pm z_{\alpha/2}\sqrt{\frac{\hat p(1-\hat p)}n}.$$

Requer uma aproximação normal adequada, com contagens de sucessos e insucessos suficientemente grandes. É frágil perto de 0 ou 1 e em amostras pequenas. Se x for zero, produz erroneamente largura zero; isso não demonstra que p seja zero.

Limites unilaterais

Para uma confiança aproximada $1-\alpha$, Wald usa $z_\alpha$ num limite unilateral:

$$L=\hat p-z_\alpha\sqrt{\frac{\hat p(1-\hat p)}n},\qquad U=\hat p+z_\alpha\sqrt{\frac{\hat p(1-\hat p)}n}.$$

O intervalo inferior é $[L;1]$ e o superior é $[0;U]$, com limites cortados ao domínio $[0,1]$ se necessário; mantêm-se as condições e limitações de Wald.

Exemplo. Em 100 unidades independentes existem 20 falhas. Temos $\hat p=0,20$ e erro padrão 0,04. Para limitar a proporção de falhas por cima com 95% de confiança, usa $z_{0,05}=1,6449$:

$$U=0,20+1,6449(0,04)\approx0,2658.$$

O intervalo é $[0;0,2658]$. Um limite inferior a 95% seria 0,1342, dando $[0,1342;1]$; juntar os dois limites dá um intervalo bilateral a 90%, não a 95%. Escolhe a direção antes de observar os dados. Também se pode construir um limite ajustado. No Agresti–Coull geral, usa $z_\alpha^2$ no ajustamento e $z_\alpha$ na margem unilateral. Se o enunciado fixa mais quatro, conserva essa convenção e identifica a aproximação usada.

Agresti–Coull a 95%: mais quatro

Uma alternativa ajusta as contagens adicionando dois sucessos e dois insucessos:

$$\tilde n=n+4,\qquad \tilde p=\frac{x+2}{n+4},$$ $$IC_{95\%}\approx\tilde p\pm1,96\sqrt{\frac{\tilde p(1-\tilde p)}{n+4}}.$$

Este é o ajustamento mais quatro de Agresti–Coull, usado aqui como método de referência a 95%. As observações adicionadas são um recurso de cálculo; não foram recolhidas. O centro é a proporção ajustada, não necessariamente $\hat p$.

Intervalo mais quatro

Em 30 unidades, cinco apresentam a característica. $\hat p=5/30\approx0,1667$. Para o ajustamento,

$$\tilde p=7/34\approx0,2059,\qquad \widehat{SE}\approx0,06935.$$

A margem é aproximadamente 0,13591 e o intervalo é $[0,06997;0,34180]$, ou cerca de 7,0% a 34,2%. Wald daria aproximadamente $[0,03331;0,30003]$. Identifica o método; não mistures o centro de um com o erro padrão do outro.

Se um limite calculado sai de $[0,1]$, restringe o intervalo a esse domínio e conserva os extremos possíveis 0 ou 1. Cortar os limites não transforma o método num procedimento exato.

Outras confianças e Wilson

Ver ajustamento geral e Wilson

Mais quatro é uma aproximação particular para 95%. No ajustamento geral de Agresti–Coull, substitui-se 4 por $z_{\alpha/2}^2$ e 2 por $z_{\alpha/2}^2/2$:

$$\tilde n=n+z_{\alpha/2}^2,\qquad \tilde p=\frac{x+z_{\alpha/2}^2/2}{\tilde n},\qquad IC\approx\tilde p\pm z_{\alpha/2}\sqrt{\frac{\tilde p(1-\tilde p)}{\tilde n}}.$$

A 99%, o acréscimo total é aproximadamente 6,635, não 4. Se o enunciado fixa um ajustamento particular, usa-o e declara-o. O intervalo de Wilson score é outro método, obtido invertendo o teste de score; não é exatamente esta fórmula. O nome do centro ajustado não torna os dois intervalos iguais.

Dimensionar a amostra

Para Wald, com proporção de planeamento $p_*$ e margem $\varepsilon$,

$$n\ge\frac{z_{\alpha/2}^2p_*(1-p_*)}{\varepsilon^2}.$$

Sem uma estimativa prévia, usa $p_*=0,5$, pois $p(1-p)\le1/4$. Com 95% e margem 0,05, a conta com 1,96 dá $n\ge384,16$, logo 385.

Para mais quatro a 95%, usando o mesmo raciocínio,

$$n\ge\frac{1,96^2p_*(1-p_*)}{\varepsilon^2}-4.$$

Sem estimativa prévia, bastam 381 pelo critério de margem desse intervalo aproximado; não é uma garantia de cobertura exata. Para reduzir a margem a metade, mantendo p de planeamento e confiança, quadruplica-se n+4: partir de n igual a 200 aponta para n igual a 812, antes de outros arredondamentos. Usar limites de um intervalo já arredondado pode alterar o resultado de planeamento.

Testar uma proporção

Para $H_0:p=p_0$, sob condições $np_0\ge10$ e $n(1-p_0)\ge10$, usa

$$Z_0=\frac{\hat p-p_0}{\sqrt{p_0(1-p_0)/n}}\ \approx N(0,1).$$

O erro padrão usa $p_0$, porque a distribuição de referência é calculada sob a nula. Não usa $\tilde p$ nem $\hat p$ no denominador. Escolhe a cauda segundo $H_1$.

Exemplo. Em 200 unidades, 30 falham. Queremos saber se a proporção é inferior a 20%: $H_0:p=0,20$, $H_1:p<0,20$. As contagens esperadas sob a nula são 40 e 160, satisfazendo as condições.

$$z=\frac{0,15-0,20}{\sqrt{0,20(0,80)/200}}\approx-1,7678.$$

O valor-p à esquerda é $\Phi(-1,7678)\approx0,03855$. A 5%, há evidência de uma proporção inferior a 20%. Para a pergunta bilateral, o valor-p seria aproximadamente 0,07710 e não rejeitaríamos. Quando a aproximação falha, um teste binomial exato pode ser apropriado; não uses a normal por hábito.

Diferença entre duas proporções

Para grupos independentes, o alvo é $p_1-p_2$. Wald usa centro $\hat p_1-\hat p_2$ e erro padrão

$$\sqrt{\frac{\hat p_1(1-\hat p_1)}{n_1}+\frac{\hat p_2(1-\hat p_2)}{n_2}}.$$

No ajustamento a 95% mais dois por grupo, usa-se

$$\tilde p_i=\frac{x_i+1}{n_i+2},\quad IC\approx(\tilde p_1-\tilde p_2)\pm1,96\sqrt{\frac{\tilde p_1(1-\tilde p_1)}{n_1+2}+\frac{\tilde p_2(1-\tilde p_2)}{n_2+2}}.$$

Adicionamos um sucesso e um insucesso a cada grupo, não dois de cada a cada grupo. Restringe limites ao domínio $[-1,1]$ se necessário.

Exemplo. Os grupos têm 40 sucessos em 50 e 20 em 40. As proporções ajustadas são $41/52\approx0,7885$ e $21/42=0,5$. O centro é 0,2885 e o erro padrão aproximadamente 0,09571. O intervalo a 95% é aproximadamente $[0,1009;0,4760]$: os dados apoiam uma maior proporção no primeiro grupo, sob as condições do estudo.

Testar igualdade de duas proporções

Sob $H_0:p_1=p_2$, estima-se a proporção comum por

$$\bar p=\frac{x_1+x_2}{n_1+n_2},\qquad Z_0=\frac{\hat p_1-\hat p_2}{\sqrt{\bar p(1-\bar p)(1/n_1+1/n_2)}}.$$

Verifica que as contagens esperadas de sucessos e insucessos em cada grupo são suficientemente grandes. Esta fórmula com proporção comum testa igualdade. Não se aplica diretamente a $H_0:p_1-p_2=\delta_0$ com $\delta_0\ne0$.

No exemplo, $\bar p=60/90=2/3$, o erro padrão sob a nula é 0,1 e $z=3$; o valor-p bilateral é aproximadamente 0,00270. Sem correção de continuidade, o quadrado de z coincide com o qui-quadrado da tabela 2 por 2.

As fórmulas desta página pressupõem grupos independentes: respostas binárias antes e depois nas mesmas pessoas requerem um método para dados emparelhados, não estas duas proporções independentes.