Dados bivariados

Em cada execução, regista o tamanho da tarefa e o tempo gasto. Cada execução dá um par $(x_i,y_i)$. Preservar os pares é essencial: ordenar cada coluna separadamente inventa relações que não foram observadas.

Duas variáveis categóricas

Uma tabela de dupla entrada conta cada combinação. Os totais das linhas e colunas são as frequências marginais. Para comparar grupos de tamanhos diferentes, calcula proporções dentro de cada grupo.

Grupo	Falhou	Não falhou	Total
A	12	48	60
B	18	22	40
Total	30	70	100

A proporção global de falhas é $30/100=0,30$; no grupo A é $12/60=0,20$ e no grupo B é $18/40=0,45$. Embora B tenha menos unidades, a sua proporção de falhas é maior. Já $12/100=0,12$ é a proporção de unidades que pertencem a A e falharam; o denominador muda a pergunta. Um gráfico de barras com proporções por grupo permite comparar distribuições. Os valores observados sugerem uma associação. Um teste de independência avalia essa evidência sob um modelo amostral.

Uma variável quantitativa e uma categórica

Compara a variável quantitativa entre categorias usando caixas lado a lado na mesma escala. Observa centro, dispersão, assimetria e valores afastados. Caixas sobrepostas não demonstram igualdade de médias; caixas separadas não substituem um teste.

Se as categorias são «antes» e «depois» para as mesmas unidades, a tabela contém pares. Mostra também as diferenças individuais. Uma comparação que ignora o emparelhamento pode esconder uma alteração consistente.

Duas variáveis quantitativas

Um diagrama de dispersão coloca os pares $(x_i,y_i)$ no plano. Procura direção, forma, grupos e extremos antes de resumir a relação por um coeficiente.

A covariância amostral mede se os desvios em relação às médias tendem a ter o mesmo sinal:

$$s_{xy}=\frac{1}{n-1}\sum_i(x_i-\bar x)(y_i-\bar y) =\frac{\sum_i x_i y_i-n\bar x\bar y}{n-1}.$$

Covariância positiva sugere que valores acima da média de X acompanham valores acima da média de Y. Uma covariância negativa sugere sentidos opostos. A sua unidade é o produto das duas unidades e o valor muda quando se muda de escala. Para ver o sinal, centra cada coluna na média e multiplica os desvios de cada par. A soma destes produtos dá o numerador da covariância.

A correlação de Pearson remove a escala:

$$r=\frac{s_{xy}}{s_Xs_Y},\qquad -1\le r\le1.$$

É definida quando os dois desvios são positivos. $r=1$ ou $r=-1$ corresponde a uma relação linear perfeita com declive positivo ou negativo. Valores próximos de zero indicam pouca associação linear, mas podem coexistir com uma relação curva forte.

Cálculo da covariância e correlação

Considera $(1,2),(2,4),(3,5),(4,9)$. Temos $\bar x=2,5$, $\bar y=5$, $\sum x_i y_i=61$, $\sum x_i^2=30$ e $\sum y_i^2=126$.

Os produtos dos desvios mostram a origem do numerador:

Par	$x_i-2,5$	$y_i-5$	Produto
(1,2)	−1,5	−3	4,5
(2,4)	−0,5	−1	0,5
(3,5)	0,5	0	0
(4,9)	1,5	4	6

A soma é 11. Assim,

$$s_{xy}=\frac{61-4(2,5)(5)}3=\frac{11}3,$$ $$s_X^2=\frac{30-4(2,5)^2}3=\frac53,\qquad s_Y^2=\frac{126-4(5)^2}3=\frac{26}3.$$

Assim,

$$r=\frac{11}{\sqrt{130}}\approx0,9648.$$

Há uma associação linear positiva forte nesta amostra. Não concluímos que aumentar X cause Y. Pode existir um fator comum, uma seleção particular de unidades ou uma relação causal no sentido inverso.

Converter X de metros em centímetros multiplica a sua covariância com Y por 100 e o seu desvio por 100, deixando $r$ igual. Multiplicar X por um número negativo troca o sinal de $r$. Somar constantes às colunas não altera a covariância nem a correlação.

Quando zero não significa ausência de relação

A figura compara os quatro pares usados na conta com $x=-2,-1,0,1,2$ e $y=x^2$. No segundo caso, $\bar x=0$ e $\bar y=2$. Os produtos centrados são $-4,1,0,-1,4$: somam zero. Como ambos os desvios são positivos, $r=0$, embora Y seja completamente determinado por X.