Duas variáveis aleatórias

Na inspeção de cada peça regista duas variáveis: $X$, que vale 1 se a peça falha e 0 se passa, e $Y$, que vale 1 se há defeito visual e 0 se não há. Precisas de um modelo para o par, não só para cada coluna, pois mesmo sabendo que metade das peças falha e 60% tem defeito visual, não sabemos quantas têm ambos. A distribuição conjunta descreve o par $(X,Y)$ na mesma unidade e permite calcular essa interseção.

Conjunta, marginais e condicionais

No caso discreto, $f_{X,Y}(x,y)=P(X=x,Y=y)$. As probabilidades da tabela somam 1. As marginais obtêm-se somando linhas ou colunas:

$$f_X(x)=\sum_y f_{X,Y}(x,y),\qquad f_Y(y)=\sum_x f_{X,Y}(x,y).$$

Se $f_Y(y)>0$, a distribuição condicional é

$$P(X=x\mid Y=y)=\frac{f_{X,Y}(x,y)}{f_Y(y)}.$$

Considera a tabela seguinte:

$X\backslash Y$	0	1	$f_X(x)$
0	0,3	0,2	0,5
1	0,1	0,4	0,5
$f_Y(y)$	0,4	0,6	1

Temos $P(X=1)=0,5$, mas $P(X=1\mid Y=1)=0,4/0,6=2/3$. Conhecer Y altera a distribuição de X.

Num modelo contínuo com densidade conjunta, somas dão lugar a integrais: $f_X(x)=\int f_{X,Y}(x,y)dy$, e uma probabilidade corresponde a integrar a densidade sobre a região pedida, não a avaliar a densidade num ponto. Dizer que a densidade vale 2 numa região significa que ela é constante nessa região; a probabilidade continua a ser área ponderada, não altura. Por exemplo, se a densidade conjunta vale 2 na região $0<y<x<1$ e zero fora, a área do triângulo é $1/2$, logo a probabilidade total é 1.

Para calcular $f_X(x)$, fixa x e percorre a região na vertical. Em $x=0,6$, y vai de 0 até 0,6; para um x qualquer entre 0 e 1, vai de 0 até x. Assim,

$$f_X(x)=\int_0^x 2\,dy=2x,\qquad 0<x<1.$$

Para calcular $f_Y(y)$, fixa y e percorre a região na horizontal. Em $y=0,4$, x vai de 0,4 até 1; para um y qualquer entre 0 e 1, vai de y até 1. Assim,

$$f_Y(y)=\int_y^1 2\,dx=2(1-y),\qquad 0<y<1.$$

Fora destes intervalos, as marginais valem zero. Os extremos abertos não alteram as integrais, porque pontos isolados têm probabilidade zero neste modelo contínuo. A probabilidade de $X>1/2$ é $\int_{1/2}^1 2x\,dx=3/4$. Os limites de integração vêm da região, não de um retângulo inventado.

Probabilidades e condicionais contínuas

No mesmo triângulo, o acontecimento $Y>1/2$ exige $1/2<y<x<1$. Integramos primeiro em y, depois em x:

$$P(Y>1/2)=\int_{1/2}^1\int_{1/2}^x2\,dy\,dx =\int_{1/2}^1(2x-1)\,dx=1/4.$$

Se $f_X(x)>0$, a densidade condicional de Y dado X é

$$f_{Y\mid X=x}(y)=\frac{f_{X,Y}(x,y)}{f_X(x)}.$$

Aqui vale $1/x$ para $0<y<x$, e zero fora. Para $X=0,6$, a distribuição condicional de Y é uniforme entre 0 e 0,6. Assim,

$$P(Y<0,3\mid X=0,6)=\int_0^{0,3}\frac1{0,6}\,dy=1/2.$$

Não dividimos por $P(X=0,6)$: essa probabilidade é zero. A razão entre densidades define a condicional. X e Y são dependentes, pois saber x muda o intervalo de valores possíveis de Y.

Independência

X e Y são independentes quando a conjunta é o produto das marginais: $f_{X,Y}(x,y)=f_X(x)f_Y(y)$ para todos os pares, no caso discreto, e fatorização da densidade quase em toda a parte no caso contínuo.

Na tabela, $P(X=1,Y=1)=0,4$, mas $P(X=1)P(Y=1)=0,5(0,6)=0,3$; um único par que falhe já demonstra dependência, enquanto para demonstrar independência não basta verificar um único par.

Covariância e correlação populacionais

Com segundos momentos finitos,

$$\operatorname{Cov}(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y),$$ $$\rho=\frac{\operatorname{Cov}(X,Y)}{\sigma_X\sigma_Y},$$

quando os dois desvios são positivos. Calcula $E(XY)$ com a conjunta, somando $xyf_{X,Y}(x,y)$, sem usar automaticamente $E(X)E(Y)$: essa igualdade é consequência da independência, não uma regra universal.

No exemplo, $E(X)=0,5$, $E(Y)=0,6$ e $E(XY)=0,4$. Logo, a covariância é $0,4-0,5(0,6)=0,1$. Como X e Y só tomam 0 ou 1, chamamos-lhes indicadores. Para um indicador,

$$\operatorname{Var}(X)=0,5(0,5)=0,25,\quad \operatorname{Var}(Y)=0,6(0,4)=0,24,$$ $$\rho=\frac{0,1}{\sqrt{0,25(0,24)}}\approx0,4082.$$

Independência implica covariância nula. O inverso não vale em geral. Se X toma $-1,0,1$ com igual probabilidade e $Y=X^2$, então $E(X)=E(XY)=0$ e a covariância é zero. Contudo, $P(Y=0\mid X=0)=1$, enquanto $P(Y=0)=1/3$.

Somar e subtrair

A linearidade da esperança não exige independência:

$$E(aX+bY+c)=aE(X)+bE(Y)+c.$$

Para a variância,

$$\operatorname{Var}(aX+bY)=a^2\operatorname{Var}(X)+b^2\operatorname{Var}(Y)+2ab\operatorname{Cov}(X,Y).$$

Na tabela, $E(X+Y)=1,1$ e $\operatorname{Var}(X+Y)=0,25+0,24+0,2=0,69$. Para a diferença,

$$\operatorname{Var}(X-Y)=0,25+0,24-0,2=0,29.$$

A covariância positiva aumenta a variância da soma e reduz a da diferença. É a razão por que o emparelhamento pode melhorar uma comparação: as duas medições da mesma unidade tendem a partilhar variação.

Para variáveis independentes, o termo de covariância desaparece. As variâncias somam-se na soma e na diferença; os desvios padrão não se somam. Para observações i.i.d. de variância $\sigma^2$,

$$\operatorname{Var}\left(\sum_{i=1}^n a_iX_i\right)=\sigma^2\sum_{i=1}^n a_i^2.$$

Por exemplo, $0,4X_1+0,1X_2-0,3X_3+0,2X_4-0,5$ tem variância $(0,16+0,01+0,09+0,04)\sigma^2=0,30\sigma^2$. A constante muda a média, não a variância.