Exercícios MT1 · Métodos Estatísticos

Média e mediana do número de defeitosAutoavaliação

Teste 1, 2021/22

Foi registado o número de defeitos em 120 máquinas de um determinado tipo, escolhidas aleatoriamente. Na tabela, o número de defeitos é 1, 2, 3, 4, 5, 6 e o número de máquinas respetivo é 44, 41, 21, 9, 3, 2. Determine a média $\bar x$ e a mediana $Q_2$ desta amostra.

A tua resposta

Solução

$\bar x = 2{,}1$ e $Q_2 = 2$ .

O total de defeitos é $\sum n_i x_i = 44+82+63+36+15+12=252$ , logo $\bar x=252/120=2{,}1$ . As frequências acumuladas são 44 e 85, pelo que $x_{(60)}=x_{(61)}=2$ . Como $np=120\cdot0{,}5=60$ é inteiro, $Q_2=(x_{(60)}+x_{(61)})/2=2$ .

Confere a tua resposta:

A resposta indica $\bar x = 2{,}1$ .
A resposta indica $Q_2 = 2$ .

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Média e desvio padrão de classificaçõesAutoavaliação

Teste 1, 2021/22

Foi selecionada uma amostra aleatória de 20 classificações (escala de 0 a 100) de um teste de matemática, com $\sum_{i=1}^{20} x_i = 880{,}4$ e $\sum_{i=1}^{20} x_i^2 = 40854{,}56$ . Determine a média e o desvio padrão amostral dos dados.

A tua resposta

Solução

$\bar x = 44{,}02$ e $s \approx 10{,}51$ .

$\bar x = 880{,}4/20 = 44{,}02$ . A variância amostral é $s^2=\frac{1}{n-1}\left(\sum x_i^2 - \frac{(\sum x_i)^2}{n}\right)=\frac{1}{19}\left(40854{,}56-\frac{880{,}4^2}{20}\right)=\frac{2099{,}352}{19}\approx110{,}49$ , logo $s\approx10{,}51$ .

Confere a tua resposta:

A resposta indica $\bar x = 44{,}02$ .
A resposta indica $s \approx 10{,}51$ .

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Efeito de uma transformação linear na média e no desvio padrãoAutoavaliação

Teste 1, 2023/24

A média e o desvio padrão de uma amostra de 50 elementos de uma variável $X$ são $\bar x = 3$ mm e $s = 2$ mm. A cada valor observado $x_i$ fez-se corresponder o valor $y_i = 3x_i - 2$ . Determine a média $\bar y$ e o desvio padrão $s_y$ dos novos dados $y_i$ .

A tua resposta

Solução

$\bar y = 7$ mm e $s_y = 6$ mm.

A média transforma-se como os próprios dados: $\bar y = 3\cdot3-2=7$ . O desvio padrão é afetado apenas pelo fator multiplicativo: $s_y=|3|\cdot2=6$ mm.

Confere a tua resposta:

A resposta indica $\bar y = 7$ mm.
A resposta indica $s_y = 6$ mm.

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Valores afastados pelo diagrama de caixaAutoavaliação

Teste 1, 2023/24

Considere a amostra aleatória de 22 valores: 43, 25, 15, 34, 28, 33, 22, 32, 47, 26, 31, 26, 20, 38, 30, 36, 30, 31, 32, 25, 28, 49. Usando quartis do tipo 2 e as barreiras $Q_1-1{,}5\,AIQ$ e $Q_3+1{,}5\,AIQ$ , indique quais destes valores são valores afastados (outliers).

A tua resposta

Solução

Os valores afastados são 47 e 49.

Ordenando os dados, $Q_1=x_{(6)}=26$ (pois $22\cdot0{,}25=5{,}5$ ) e $Q_3=x_{(17)}=34$ (pois $22\cdot0{,}75=16{,}5$ ), logo $AIQ=8$ . A barreira superior é $34+1{,}5\cdot8=46$ e a inferior é $26-12=14$ . Os valores 47 e 49 excedem 46; o valor 15 não fica abaixo de 14.

Confere a tua resposta:

A resposta indica $Q_1=26$ , $Q_3=34$ e $AIQ=8$ .
A resposta indica que os valores afastados são 47 e 49.

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Coeficiente de correlação de Pearson com resumo dadoValor

Teste 1, 2023/24

Considere a amostra bivariada $(x_i, y_i)$ com 11 pares: $x$ : 5,1, 4,2, 4,6, 4,0, 4,5, 3,2, 3,9, 4,8, 5,2, 4,9, 4,0 e $y$ : 3,9, 3,4, 4,2, 4,0, 3,5, 4,5, 4,5, 4,4, 3,9, 4,3, 4,5. Sabendo que $\bar x=4{,}4$ , $\bar y=4{,}1$ , $s_X=0{,}6033$ , $s_Y=0{,}3950$ e $\sum_{i=1}^{11}x_iy_i=197{,}66$ , determine o coeficiente de correlação linear amostral de Pearson.

A tua resposta±0,001

Solução

$r \approx -0{,}3273$ .

$r=\frac{\sum x_iy_i-n\bar x\bar y}{(n-1)s_Xs_Y}=\frac{197{,}66-11\cdot4{,}4\cdot4{,}1}{10\cdot0{,}6033\cdot0{,}3950}=\frac{197{,}66-198{,}44}{2{,}3830}=\frac{-0{,}78}{2{,}3830}\approx-0{,}3273$ .

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Probabilidade condicionada com acontecimentos independentesValor

Teste 1, 2021/22

Sejam $A$ e $B$ dois acontecimientos independentes definidos no mesmo espaço de probabilidade, com $P(B)=2/5$ e $P(A)=4/5$ . Determine $P(A|B)$ .

A tua respostaValor exato

Solução

$P(A|B)=0{,}8$ .

Como $A$ e $B$ são independentes, $P(A|B)=P(A)=4/5=0{,}8$ .

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Variância de uma combinação linear de variáveisAutoavaliação

Teste 1, 2023/24

Seja $X$ uma variável aleatória contínua com média $\mu_X$ e variância $\sigma_X^2$ . Considere uma amostra aleatória $(X_1, X_2, \dots, X_n)$ dessa população e a variável aleatória $Y = 0{,}4X_1 + 0{,}1X_3 - 0{,}3X_5 + 0{,}2X_n - 0{,}5$ . Determine a variância de $Y$ .

A tua resposta

Solução

$\operatorname{V}(Y)=0{,}30\,\sigma_X^2$ .

A constante não altera a variância e, como a amostra é aleatória, as parcelas são independentes: $\operatorname{V}(Y)=(0{,}4^2+0{,}1^2+0{,}3^2+0{,}2^2)\sigma_X^2=(0{,}16+0{,}01+0{,}09+0{,}04)\sigma_X^2=0{,}30\,\sigma_X^2$ .

Confere a tua resposta:

A resposta usa a independência para somar as variâncias ponderadas pelos quadrados dos coeficientes.
A resposta indica $\operatorname{V}(Y)=0{,}30\,\sigma_X^2$ .

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Binomial: no máximo cinco bicos amarelos em seis avesValor

Teste 1, 2021/22

O bico de determinada espécie de aves pode ser cinzento ou amarelo. Numa certa região, 60% dos indivíduos dessa espécie têm o bico cinzento. Selecionadas aleatoriamente 6 aves dessa região, qual é a probabilidade de no máximo 5 terem o bico amarelo?

A tua resposta±0,001

Solução

$P(X\le5)\approx0{,}996$ .

O número de aves com bico amarelo segue $X\sim B(6, 0{,}4)$ . Então $P(X\le5)=1-P(X=6)=1-0{,}4^6=1-0{,}004096=0{,}995904\approx0{,}996$ .

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Binomial exata: 50 parafusos do tamanho A em 100Valor

Teste 1, 2021/22

Uma unidade fabril produz parafusos de dois tamanhos: 42,3% são do tamanho A e os restantes do tamanho B. Foi selecionada uma amostra aleatória de 100 parafusos. Qual é a probabilidade de exatamente 50 parafusos dessa amostra serem do tamanho A?

A tua resposta±0,001

Solução

$P(X=50)\approx0{,}024$ .

O número de parafusos do tamanho A segue $X\sim B(100, 0{,}423)$ . Assim, $P(X=50)=\binom{100}{50}0{,}423^{50}\,0{,}577^{50}\approx0{,}024$ .

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Normal: altura inferior a 1,70 mValor

Teste 1, 2021/22

A altura dos alunos de Métodos Estatísticos segue uma distribuição normal com valor esperado 1,74 m e desvio padrão 0,07 m. Selecionado ao acaso um aluno, qual é a probabilidade de a sua altura ser inferior a 1,70 m?

A tua resposta±0,001

Solução

$P(X<1{,}70)\approx0{,}2843$ .

Padronizando, $Z=\frac{1{,}70-1{,}74}{0{,}07}\approx-0{,}5714$ . Da tabela da normal padrão, $\Phi(-0{,}57)\approx0{,}2843$ .

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Binomial: mais de 2 e menos de 6 peixes com mutaçãoValor

Teste 1, 2023/24

Num determinado lago, a percentagem de peixes de uma dada espécie com uma mutação genética é 5%. Foi selecionada uma amostra aleatória de 15 peixes dessa espécie. Qual é a probabilidade de na amostra existirem mais de 2 e menos de 6 peixes com a mutação?

A tua resposta±0,001

Solução

$P(2<X<6)\approx0{,}0361$ .

O número de peixes com mutação segue $X\sim B(15, 0{,}05)$ . Então $P(2<X<6)=P(3\le X\le5)=P(X\le5)-P(X\le2)\approx0{,}9999-0{,}9638=0{,}0361$ .

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Aproximação normal: pelo menos 50 sem hipertensão em 100Valor

Teste 1, 2023/24

Num determinado país, a probabilidade de uma pessoa necessitar de tratamento para a hipertensão é 0,4. Numa amostra aleatória de 100 indivíduos desse país, qual é, aproximadamente, a probabilidade de pelo menos 50 não necessitarem de tratamento?

A tua resposta±0,001

Solução

$P(X\ge50)\approx0{,}9838$ .

O número de indivíduos sem hipertensão segue $X\sim B(100, 0{,}6)$ , com $\mu=60$ e $\sigma=\sqrt{100\cdot0{,}6\cdot0{,}4}=\sqrt{24}\approx4{,}899$ . Com correção de continuidade, $P(X\ge50)\approx P\!\left(Z\ge\frac{49{,}5-60}{4{,}899}\right)=P(Z\ge-2{,}14)\approx0{,}9838$ .

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Distribuição da média de 10 capacidades normaisAutoavaliação

Teste 1, 2023/24

A capacidade de cada garrafa de um dado tipo é normalmente distribuída com média 500 ml e desvio padrão 10 ml. Seja $Y$ a variável aleatória que representa a capacidade média de 10 garrafas de uma amostra aleatória simples. Indique a distribuição de $Y$ (média e variância).

A tua resposta

Solução

$Y\sim N(500, 10)$ , isto é, média 500 ml e variância 10 ml².

A média de variáveis normais independentes é normal. Tem-se $E(Y)=500$ e $\operatorname{V}(Y)=\frac{10^2}{10}=10$ , logo $Y\sim N(500, 10)$ .

Confere a tua resposta:

A resposta indica que $Y$ segue uma distribuição normal.
A resposta indica média 500 ml e variância 10 ml² (desvio padrão $\sqrt{10}\approx3{,}16$ ml).

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Estatística descritiva

Dados bivariados

Probabilidades

Variáveis aleatórias

Distribuições

Estatística descritiva

Média e mediana do número de defeitos

Média e desvio padrão de classificações

Efeito de uma transformação linear na média e no desvio padrão

Valores afastados pelo diagrama de caixa

Dados bivariados

Coeficiente de correlação de Pearson com resumo dado

Probabilidades

Probabilidade condicionada com acontecimentos independentes

Variáveis aleatórias

Variância de uma combinação linear de variáveis

Distribuições

Binomial: no máximo cinco bicos amarelos em seis aves

Binomial exata: 50 parafusos do tamanho A em 100

Normal: altura inferior a 1,70 m

Binomial: mais de 2 e menos de 6 peixes com mutação

Aproximação normal: pelo menos 50 sem hipertensão em 100

Distribuição da média de 10 capacidades normais

Soluções

Média e mediana do número de defeitos

Média e desvio padrão de classificações

Efeito de uma transformação linear na média e no desvio padrão

Valores afastados pelo diagrama de caixa

Coeficiente de correlação de Pearson com resumo dado

Probabilidade condicionada com acontecimentos independentes

Variância de uma combinação linear de variáveis

Binomial: no máximo cinco bicos amarelos em seis aves

Binomial exata: 50 parafusos do tamanho A em 100

Normal: altura inferior a 1,70 m

Binomial: mais de 2 e menos de 6 peixes com mutação

Aproximação normal: pelo menos 50 sem hipertensão em 100

Distribuição da média de 10 capacidades normais