Testes de hipóteses

Uma máquina deve produzir peças com comprimento médio de 100 mm. Uma amostra de 16 peças tem média de 98,5 mm. A diferença pode resultar da variação amostral ou indicar uma média populacional diferente. O teste avalia a compatibilidade dos dados com uma hipótese, usando um modelo e uma regra de decisão previamente escolhidos.

Formular as hipóteses

$H_0$ é a hipótese nula e $H_1$ é a alternativa; são afirmações sobre parâmetros, não sobre a média já observada.

Pergunta	$H_0$ de referência	$H_1$
A média difere de 100?	$\mu=100$	$\mu\ne100$
A média é inferior a 100?	$\mu=100$	$\mu<100$
A média é superior a 100?	$\mu=100$	$\mu>100$

Em testes unilaterais pode escrever-se a nula composta $\mu\ge100$ ou $\mu\le100$, respetivamente; para a calibração habitual da estatística normal ou t usa-se a fronteira $\mu=100$. A alternativa deve representar a pergunta inicial, pelo que não a escolhes unilateral depois de veres que lado parece favorecer a rejeição.

Estatística e distribuição sob a nula

Para uma média normal com $\sigma$ conhecido,

$$Z_0=\frac{\bar X-\mu_0}{\sigma/\sqrt n}\sim N(0,1)\quad\text{sob }H_0.$$

Com desvio desconhecido e população normal,

$$T_0=\frac{\bar X-\mu_0}{S/\sqrt n}\sim t_{n-1}\quad\text{sob }H_0.$$

O valor observado z ou t mede a distância à hipótese em unidades de erro padrão; o sinal conserva a direção. Para duas médias, o mesmo raciocínio aplica-se com o erro padrão e os graus de liberdade de comparar médias, na página seguinte.

Com população não normal e n grande, a estatística com erro padrão estimado pode ser aproximadamente normal. Para amostras pequenas, o teste t requer a condição de normalidade adequada e atenção a extremos.

Valor-p e região crítica

O valor-p é a probabilidade, calculada sob $H_0$, de resultados pelo menos tão extremos como o observado, segundo a alternativa. Para uma distribuição contínua simétrica de referência com acumulada G,

Alternativa	Valor-p para estatística observada t
Bilateral	$2[1-G(\lvert t\rvert)]$
À direita	$1-G(t)$
À esquerda	$G(t)$

Fixado o nível $\alpha$, rejeitamos se o valor-p é não superior a $\alpha$. Equivalentemente, para um teste t, rejeita-se quando

• bilateral: $|t|\ge t_{\alpha/2,\nu}$;
• à direita: $t\ge t_{\alpha,\nu}$;
• à esquerda: $t\le-t_{\alpha,\nu}$.

Numa tabela de caudas direitas, compara $|t|$ com os quantis para enquadrar a área. Se $t_{0,025;\nu}<|t|<t_{0,01;\nu}$, o valor-p bilateral está entre 0,02 e 0,05. No teste unilateral, usa a cauda no sentido de $H_1$, não metade do valor bilateral sem olhar para o sinal.

Teste bilateral do comprimento médio

Uma máquina deve produzir peças com comprimento médio 100 mm. Medem-se 16 peças independentes de uma população normal: $\bar x=98,5$ e $s=2$. A pergunta é se a média difere de 100, a 5%.

1. $H_0:\mu=100$ e $H_1:\mu\ne100$.
2. $\sigma$ é desconhecido, logo usamos t com 15 graus de liberdade.
3. $SE=2/\sqrt{16}=0,5$ e $t=(98,5-100)/0,5=-3$.
4. O valor crítico bilateral é $t_{0,025;15}\approx2,1314$. Como $|-3|>2,1314$, rejeitamos.
5. O valor-p é aproximadamente 0,0090. Há evidência, a 5%, de que a média populacional difere de 100 mm; a estimativa observada é inferior em 1,5 mm.

Se a alternativa previamente escolhida fosse $\mu<100$, o valor-p seria cerca de 0,0045. Se fosse $\mu>100$, seria cerca de 0,9955. Uma estatística negativa não apoia um aumento.

Não rejeitar e relevância prática

Estatística, valor-p e nível de significância

Num teste t bilateral com graus de liberdade fixos, o valor-p depende de $|t|$. Passar de $t=-3$ para $t=-1$ aumenta a estatística, mas aproxima-a de zero e aumenta o valor-p. Passar de $t=1$ para $t=3$ também aumenta a estatística, mas afasta-a de zero e reduz o valor-p. Por isso, «a estatística aumenta, logo o valor-p diminui» não é uma regra bilateral.

Mantendo os dados, o modelo e a alternativa, mudar $\alpha$ não altera o valor-p. Com $p=0,0254$, rejeitamos a níveis 0,05 e 0,03, mas não a 0,02 ou 0,01. Mudou o limiar da decisão, não a evidência calculada a partir dos dados. Numa comparação com graus de liberdade diferentes, nem sequer basta comparar os valores absolutos das estatísticas: mudou a distribuição de referência.

Com valor-p 0,08 e $\alpha=0,05$, não rejeitamos $H_0$, ou seja, a evidência é insuficiente para a alternativa neste teste e a igualdade não fica demonstrada. Uma amostra pouco precisa pode deixar diferenças importantes por detetar.

Também não basta escrever «significativo»: apresenta a estimativa e a sua unidade. Uma diferença minúscula pode tornar-se estatisticamente significativa numa amostra enorme. Uma diferença útil pode não ser detetada numa amostra pequena. Causalidade depende do desenho, não do valor-p.

Relação com o intervalo de confiança

Para um teste bilateral e o intervalo construído a partir do mesmo modelo e estatística, rejeitar a 5% equivale a o valor nulo estar fora do intervalo de 95%.

No exemplo, o intervalo t é $98,5\pm2,1314(0,5)=[97,4343;99,5657]$; não contém 100, coerente com a rejeição. Um intervalo bilateral de 95% não é o intervalo correspondente a um teste unilateral de 5%, e esta equivalência exige métodos compatíveis: um intervalo de proporção com erro padrão estimado ou ajustamento não é automaticamente a inversão do teste que usa o erro padrão sob a nula.