Funções hiperbólicas e integrais impróprios

As funções hiperbólicas são combinações da exponencial que aparecem em cabos suspensos, vibrações e, nesta cadeira, como treino de derivação e primitivação. Os integrais impróprios estendem depois o integral de Riemann a intervalos infinitos ou a funções com singularidades, usando limites.

Funções hiperbólicas

O seno hiperbólico e o cosseno hiperbólico definem-se por

$$\sinh x = \frac{e^x - e^{-x}}{2}, \qquad \cosh x = \frac{e^x + e^{-x}}{2}.$$

As restantes seguem por quociente: $\tanh x = \sinh x/\cosh x$, $\coth x = \cosh x/\sinh x$, $\operatorname{sech} x = 1/\cosh x$ e $\operatorname{csch} x = 1/\sinh x$. O domínio do $\sinh$, $\cosh$ e $\operatorname{sech}$ é todo o $\mathbb{R}$; $\tanh$ exclui os zeros do $\cosh$ (nenhum real, mas atenção ao contradomínio $]-1, 1[$).

A identidade central é o análogo hiperbólico do teorema de Pitágoras trigonométrico:

$$\cosh^2 x - \sinh^2 x = 1.$$

Confirma-se expandindo: $\frac{1}{4}\big((e^x+e^{-x})^2 - (e^x-e^{-x})^2\big) = \frac{1}{4}(4e^x e^{-x}) = 1$. Repara no sinal menos, a diferença que distingue o mundo hiperbólico do trigonométrico.

As derivadas trocam $\sinh$ e $\cosh$ entre si:

$$\frac{d}{dx}\sinh x = \cosh x, \qquad \frac{d}{dx}\cosh x = \sinh x, \qquad \frac{d}{dx}\tanh x = \operatorname{sech}^2 x.$$

A primeira confirma-se derivando a definição: $(e^x + e^{-x})/2 = \cosh x$. Daqui saem primitivas úteis: $\int \sinh x\,dx = \cosh x + C$ e $\int \cosh x\,dx = \sinh x + C$. Para quocientes, a substituição resolve: com $u = \cosh x$,

$$\int \tanh x\,dx = \int \frac{\sinh x}{\cosh x}\,dx = \ln(\cosh x) + C,$$

sem módulo, porque $\cosh x > 0$ sempre.

Integrais impróprios

Um integral impróprio envolve um limite infinito ou uma singularidade, e define-se por passagem ao limite. Para intervalo ilimitado:

$$\int_a^{\infty} f(x)\,dx = \lim_{b \to \infty} \int_a^b f(x)\,dx,$$

e diz-se convergente se o limite existe finito, divergente caso contrário. Para singularidade em $c$ interior, parte-se o integral em $[a, c[$ e $]c, b]$ e exige-se convergência dos dois lados.

Exemplo convergente: $\int_1^{\infty} \frac{dx}{x^2}$. Calcula até $b$ e passa ao limite:

$$\int_1^b x^{-2}\,dx = 1 - \frac{1}{b} \xrightarrow[b \to \infty]{} 1.$$

O integral converge com valor $1$. Contrasta com $\int_1^{\infty} \frac{dx}{x} = \lim_{b\to\infty} \ln b = \infty$, que diverge: o expoente $1$ é a fronteira, tal como nas séries-$p$.

Com singularidade na origem: $\int_0^1 \frac{dx}{\sqrt{x}}$. Para $a > 0$:

$$\int_a^1 x^{-1/2}\,dx = 2 - 2\sqrt{a} \xrightarrow[a \to 0^+]{} 2.$$

Converge com valor $2$, apesar de a função explodir em $0$: a área acumula devagar o suficiente.

Os critérios de comparação evitam calcular primitivas quando só a natureza interessa: se $0 \le f \le g$ e $\int g$ converge, então $\int f$ converge; se $\int f$ diverge, $\int g$ diverge. Compara com as bitolas $1/x^p$ no infinito ($p > 1$ converge) e $(x-c)^{-p}$ na singularidade ($p < 1$ converge).

Para onde ir

Com o cálculo integral fechado, a cadeira usa-o para resolver equações onde a incógnita é uma função: as equações diferenciais ordinárias.