Análise Matemática I

AM1 é o cálculo diferencial e integral de funções reais que sustenta o resto do curso: derivar e estudar funções, integrar e aplicar integrais, resolver equações diferenciais e representar funções por séries. As ferramentas daqui reaparecem em física, métodos estatísticos e processamento de sinal.

Como está organizado

O primeiro bloco é diferenciação. Começa por Derivadas e regras de derivação, que fixa a cadeia, as funções trigonométricas e inversas e a derivação logarítmica. Depois, Teoremas do valor médio, L’Hôpital e diferencial mostra o que a derivada garante sobre a função e como levantar indeterminações. O Polinómio e série de Taylor aproxima funções por polinómios com erro controlado, e as Séries numéricas estudam somas infinitas com os critérios de convergência.

O segundo bloco é integração. O Integral definido e teoremas fundamentais define o integral de Riemann, calcula áreas e liga integração a primitivação. A Primitivação por substituição e por partes dá as duas técnicas base, e a Primitivação avançada trata frações racionais, potências trigonométricas, a substituição universal e raízes. Os Volumes de revolução e coordenadas polares aplicam o integral a sólidos e regiões circulares, e as Funções hiperbólicas e integrais impróprios fecham o cálculo integral.

O terceiro bloco resolve equações e transforma funções. As Equações diferenciais ordinárias cobrem primeira ordem (separáveis, homogéneas, lineares, Bernoulli) e segunda ordem linear com coeficientes constantes. A Transformada de Laplace resolve EDOs por via algébrica, e as Séries de Fourier representam funções periódicas como soma de harmónicas.

Como estudar

Lê cada página com papel ao lado e refaz o exemplo principal sem espreitar, porque AM1 avalia cálculo encadeado: um sinal errado na derivada propaga-se por todo o exercício. Confirma cada primitiva derivando o resultado e cada solução de EDO substituindo na equação. Nos testes não é permitido usar tabelas nem calculadoras, por isso decora a tabela curta de derivadas, as primitivas imediatas e as transformadas elementares. Quando um método tem variantes (discos ou cascas, Laplace ou coeficientes indeterminados), escolhe o que te sai com menos erros e indica sempre as condições de aplicação.

Avaliação

A forma de avaliação muda de ano para ano. Consulta a ficha da unidade curricular no SIGARRA e a página da disciplina no Moodle para saberes o número de testes, as datas e as regras do exame de recurso.

Fontes e âmbito

Estas páginas seguem o programa da unidade curricular L.EIC002, Análise Matemática I, documentado nos materiais oficiais de 2024/25: diferenciação em $\mathbb{R}$ (derivada, regra da cadeia, funções trigonométricas e inversa, teoremas de Lagrange e Cauchy, L’Hôpital, diferencial, aproximação polinomial e fórmula de Taylor, séries de Taylor e séries numéricas); integração de Riemann em $\mathbb{R}$ (integral definido, áreas, valor médio, teoremas fundamentais, substituição e partes, frações racionais, expressões trigonométricas e irracionais, substituição universal, volumes e coordenadas polares); e tópicos adicionais (funções hiperbólicas, integrais impróprios, equações diferenciais ordinárias, transformada de Laplace e séries de Fourier).

Material oficial da FEUP:

• Página de conteúdos de Análise Matemática I (L.EIC002), ocorrência de 2024/25, com 12 aulas teóricas, fichas de problemas práticos com soluções e enunciados de testes (consultada em setembro de 2026): SIGARRA.
• Plano de estudos da LEIC, que confirma a colocação da unidade curricular no primeiro ano, primeiro semestre: LEIC.
• Bibliografia indicada nas aulas: Análise Matemática 1, Conteúdo teórico e aplicações de Carlos A. Conceição António, AEFEUP, 2017, e Problemas de equações diferenciais ordinárias de Laplace de Luísa Madureira.

Material histórico da FEUP, usado para confirmar a estrutura dos temas (os enunciados e a avaliação atuais estão na página da disciplina):

• Acetatos, exercícios propostos, tabelas de derivadas e primitivas, e testes de 2014 a 2019 da unidade de Análise Matemática do MIEIC, preservados no repositório público xico2001pt/feup-amat e consultados como referência local.
• Apontamentos de Análise Matemática 1 apresentados num workshop da FEUP em 2003, referenciados no inventário local de fontes do primeiro ano.

Notas de estudantes, úteis como apoio mas sem valor oficial:

• Resumos AM SofiaViP, apontamentos de estudante em circulação pública (ficheiro PDF descarregado da pasta pública em setembro de 2026).

Os exemplos e exercícios destas páginas são originais, escritos para este site. Não reproduzem os enunciados das fichas nem dos testes.