Análise Matemática I
Cálculo diferencial e integral em R, aproximação por séries, equações diferenciais, Laplace e Fourier.
Percurso
- Funções, limites e continuidade revê os pré-requisitos e as condições de domínio. Derivadas explica a definição e as regras. Os teoremas do valor médio, L’Hôpital e diferencial fundamentam limites e aproximações. O estudo de funções reúne monotonia, extremos, concavidade, assíntotas e otimização.
- As séries numéricas explicam somas infinitas e critérios de convergência com ferramentas elementares. Taylor constrói aproximações com erro controlado e distingue polinómio, série e função. O critério do integral fica para depois dos integrais impróprios.
- O integral definido parte das somas de Riemann e chega às áreas e aos teoremas fundamentais. A substituição e as partes dão as técnicas base; a primitivação avançada trata frações, trigonometria e raízes.
- Volumes e coordenadas polares aplica os integrais à geometria. Hiperbólicas e integrais impróprios distingue domínios e condições de convergência.
- As EDOs de primeira ordem ensinam a classificar e resolver equações. As EDOs lineares de segunda ordem tratam característica, redução de ordem, coeficientes indeterminados e variação dos parâmetros. Laplace trata transformadas, condições iniciais e forças por partes. Fourier calcula harmónicas, períodos e valores da soma nos saltos.
Há práticas no fim dos blocos, com pistas e soluções. Os problemas são próprios ou adaptações de tipos trabalhados nas fichas e provas consultadas. Quando um exemplo segue de perto um problema das fontes, a lição identifica a origem. Não são transcrições de exames nem uma previsão de futuras perguntas. A cheat sheet reúne fórmulas e condições depois de estudares as explicações.
Como trabalhar as contas
Refaz cada exemplo com papel ao lado. Antes de calcular, escreve o domínio e a condição que permite usar o método. No fim, deriva uma primitiva, substitui uma solução de EDO ou compara o resultado com o desenho e as unidades. Numa série, distingue sempre “converge” de “sei calcular a soma”.
Programa e avaliação
A ficha de 2026/27, consultada em 13 de outubro de 2026, confirma os blocos deste percurso. A frequência exige presença em 75% das aulas práticas. Os dois testes têm perguntas de desenvolvimento, valem de 0 a 20 e contam 50% cada, com a média arredondada às unidades. O exame de recurso cobre todos os conteúdos do semestre e é avaliado de 0 a 20. Confirma na ficha e no enunciado as condições e instruções aplicáveis à tua prova.
As provas consultadas de 2024/25 indicam duas horas, sem consulta, tabelas ou calculadora. Esta regra pertence a esses enunciados. Confirma as instruções da tua edição, incluindo datas, material permitido e eventuais condições adicionais.
Fontes e limites desta revisão
A sequência segue as aulas teóricas, fichas práticas e provas guardadas na coleção de 2024/25 da página oficial de conteúdos. As provas identificam o ano letivo nos próprios enunciados; a localização das fichas e aulas nessa coleção não confirma a sua data de autoria. O Moodle de AM I de 2024/25 está assinalado como indisponível para estudantes; não foi possível usar a sua coleção como base. Não temos materiais atuais do Moodle.
Foi também consultado o segundo teste de 4 de janeiro de 2024, com 2023/24 no cabeçalho, disponibilizado por estudantes no Accio. O enunciado apoia a prática de simetria dos integrais. As resoluções de estudantes anexas não são tratadas como soluções oficiais.
A bibliografia obrigatória registada a partir da ficha de 2025/26 inclui:
- Carlos A. Conceição António, Análise Matemática 1: Conteúdo teórico e aplicações, AEFEUP, 2017, ISBN 978-989-98632-3-1.
- Luísa Madureira, Problemas de equações diferenciais ordinárias e transformadas de Laplace, ISBN 972-752-065-0.
- Maria Luísa Romariz Madureira, Problemas de integrais de linha e superfície e de séries de Fourier, FEUP, 2018, ISBN 978-989-99559-2-9.
Apostol, Calculus; Banner, The Calculus Lifesaver; e Larson, Cálculo, constam como bibliografia complementar. Não foi consultado o texto integral destes livros.
Os capítulos consultados de OpenStax Calculus, Volume 1 apoiam a revisão de funções, limites, derivadas e integração. O Volume 2, secção 7.3 apoia as coordenadas polares. São alternativas abertas, não livros indicados pela FEUP. Os textos e desenhos destas páginas são próprios, exceto nos exemplos com atribuição explícita.
Os materiais históricos de xico2001pt/feup-amat, de edições anteriores do MIEIC, e os Resumos AM SofiaViP, de edição não identificada, são apoio secundário. Não confirmam avaliação atual. Os vídeos de Grant Sanderson, 3Blue1Brown, acompanham a definição de derivada, Taylor e Fourier nos pontos em que a interpretação visual ajuda.
Vídeos para acompanhar o estudo
Os vídeos vivem nas lições, nos pontos em que a interpretação visual ajuda:
- Polinómio de Taylor. Observa como igualar as derivadas no centro determina os coeficientes.
- Dente de serra em Fourier. Segue a contribuição de cada harmónica para a reconstrução de uma função.
- O conceito de derivada. Observa a passagem da taxa média para o limite das secantes.