Volumes de revolução e coordenadas polares

O integral definido mede mais do que áreas planas: empilhando secções transversais obtemos volumes, e mudando para coordenadas polares descrevemos regiões circulares com integrais simples. As duas ideias partilham o mesmo esquema, fatiar, aproximar e passar ao limite.

Volumes por secções transversais

Se um sólido entre $x = a$ e $x = b$ tem área de secção transversal $A(x)$ contínua, o seu volume é

$$V = \int_a^b A(x)\,dx.$$

Cada caso de revolução é uma escolha de $A(x)$. Rodando a região sob $y = f(x) \ge 0$ em torno do eixo $Ox$, cada secção é um disco de raio $f(x)$, com área $\pi f(x)^2$:

$$V = \pi \int_a^b f(x)^2\,dx \quad \text{(discos)}.$$

Exemplo de verificação: a esfera de raio $r$, obtida rodando o semicírculo $y = \sqrt{r^2-x^2}$ em $[-r, r]$:

$$V = \pi \int_{-r}^{r} (r^2 - x^2)\,dx = \pi\left[2r^3 - \frac{2r^3}{3}\right] = \frac{4\pi r^3}{3}.$$

Recuperámos a fórmula conhecida, o que confirma o método.

Quando a região está entre duas curvas, $g(x) \le f(x)$, cada secção é uma coroa (método das arandelas):

$$V = \pi \int_a^b \big(f(x)^2 - g(x)^2\big)\,dx.$$

Exemplo: roda a região entre $y = x$ e $y = x^2$ em torno do eixo $Ox$. As curvas cruzam-se em $0$ e $1$, e a reta está por cima:

$$V = \pi \int_0^1 (x^2 - x^4)\,dx = \pi\left[\frac{1}{3} - \frac{1}{5}\right] = \frac{2\pi}{15}.$$

Se o eixo de rotação é uma reta horizontal $y = k$ exterior à região, cada raio mede-se a partir dela: o raio exterior é $|f(x) - k|$ e o interior $|g(x) - k|$. Desenha sempre a secção e marca os dois raios antes de escrever o integral; trocar raios ou esquecer o quadrado são os erros típicos.

O método das cascas cilíndricas é a alternativa para rotações em torno de eixos verticais: com cascas de raio $x$ e altura $f(x)$,

$$V = 2\pi \int_a^b x f(x)\,dx.$$

Escolhe discos quando a secção perpendicular ao eixo é simples, e cascas quando a secção paralela o é.

Coordenadas polares

Em coordenadas polares, um ponto descreve-se por $(r, \theta)$, com $x = r\cos\theta$ e $y = r\sin\theta$. Curvas com simetria circular tornam-se simples: $r = c$ é uma circunferência, $\theta = c$ é uma semirreta e $r = 1 + \cos\theta$ é uma cardioide.

A área varrida por $r(\theta)$ entre $\theta = \alpha$ e $\theta = \beta$ é

$$A = \frac{1}{2}\int_{\alpha}^{\beta} r(\theta)^2\,d\theta.$$

A intuição: cada fatia infinitesimal é quase um setor circular de área $r^2\,d\theta/2$.

Exemplo: área da cardioide $r = 1 + \cos\theta$. Como a curva fecha-se quando $\theta$ vai de $0$ a $2\pi$:

$$A = \frac{1}{2}\int_0^{2\pi} (1 + \cos\theta)^2\,d\theta = \frac{1}{2}\int_0^{2\pi} \big(1 + 2\cos\theta + \cos^2\theta\big)\,d\theta.$$

Ora $\int_0^{2\pi} 1\,d\theta = 2\pi$, $\int_0^{2\pi} \cos\theta\,d\theta = 0$ e $\int_0^{2\pi} \cos^2\theta\,d\theta = \pi$ (valor médio $1/2$ num período de $2\pi$). Logo $A = (2\pi + \pi)/2 = 3\pi/2$.

Para onde ir

Fechamos o bloco de integração com dois tópicos que preparam o resto da cadeira: as funções hiperbólicas e os integrais impróprios.