Exercícios MT2

$\int\cos(3x)\operatorname{sen}^4 x\,dx=\frac{\operatorname{sen}^5 x}{5}-\frac{4\operatorname{sen}^7 x}{7}+C$.

Como $\cos(3x)=4\cos^3 x-3\cos x=\cos x\,(1-4\operatorname{sen}^2 x)$, o integral fica $\int\operatorname{sen}^4 x\,(1-4\operatorname{sen}^2 x)\cos x\,dx$. Com $u=\operatorname{sen} x$, $du=\cos x\,dx$, obtém-se $\int(u^4-4u^6)\,du=\frac{u^5}{5}-\frac{4u^7}{7}+C$.

$\int\frac{dx}{\sqrt{x^2-4}}=\ln\left|x+\sqrt{x^2-4}\right|+C$.

Com $x=2\sec\theta$, tem-se $\sqrt{x^2-4}=2\operatorname{tg}\theta$ e $dx=2\sec\theta\operatorname{tg}\theta\,d\theta$, logo o integral fica $\int\sec\theta\,d\theta=\ln|\sec\theta+\operatorname{tg}\theta|+C$, que se reescreve como $\ln\left|x+\sqrt{x^2-4}\right|+C$.

$\int x^7\sqrt{1-x^4}\,dx=-\frac{2+3x^4}{30}(1-x^4)^{3/2}+C$.

Com $u=1-x^4$, tem-se $du=-4x^3\,dx$ e $x^4=1-u$, logo $x^7\,dx=x^4\cdot x^3\,dx=-\frac{1-u}{4}\,du$. O integral fica $-\frac14\int(u^{1/2}-u^{3/2})\,du=-\frac16 u^{3/2}+\frac1{10}u^{5/2}+C$, que se simplifica para $-\frac{2+3x^4}{30}(1-x^4)^{3/2}+C$.

A área interior à curva é $\frac{9\pi}{2}\approx 14{,}137\ \mathrm{u.a.}$

A área em coordenadas polares é $A=\frac12\int_0^{2\pi}(2+\cos\theta)^2\,d\theta=\frac12\int_0^{2\pi}(4+4\cos\theta+\cos^2\theta)\,d\theta=\frac12(8\pi+0+\pi)=\frac{9\pi}{2}$.

O volume do sólido é $\frac{8\pi}{3}\approx 8{,}378\ \mathrm{u.v.}$

Pelo método dos discos, o raio da secção em $x$ é $y=x$, logo $V=\pi\int_0^2 x^2\,dx=\pi\left[\frac{x^3}{3}\right]_0^2=\frac{8\pi}{3}$. O sólido é um cone de raio $2$ e altura $2$, donde $V=\frac13\pi r^2 h=\frac{8\pi}{3}$.

Com $u=a-(a-b)x$, tem-se $du=-(a-b)\,dx$. Quando $x=1$, $u=b$; quando $x=0$, $u=a$. Logo $(a-b)\int_1^0 f(a-(a-b)x)\,dx=\int_b^a f(u)\,(-du)=\int_a^b f(u)\,du$.

A propriedade da mudança de variável dá $dx=-\frac{du}{a-b}$; os extremos invertem-se e o sinal negativo compensa a inversão, pelo que o integral transforma-se no integral de $f$ de $a$ a $b$.

$y=\frac{1}{Cx+x^2(1-\ln x)}$.

A equação escreve-se $y'+\frac{y}{x}=y^2x\ln x$. Dividindo por $y^2$ e pondo $z=1/y$, vem $z'-\frac{z}{x}=-x\ln x$. O fator integrante é $\frac1x$, logo $\left(\frac{z}{x}\right)'=-\ln x$, donde $\frac{z}{x}=-x\ln x+x+C$ e $z=Cx+x^2(1-\ln x)$.

$\operatorname{arctg}\frac{y}{x}+\frac12\ln(x^2+y^2)=C$.

Com $y=vx$, $v+xv'=\frac{v-1}{1+v}$, logo $\frac{1+v}{1+v^2}\,dv=-\frac{dx}{x}$. Integrando, $\operatorname{arctg} v+\frac12\ln(1+v^2)=-\ln|x|+C$, que em $x$ e $y$ dá $\operatorname{arctg}\frac{y}{x}+\frac12\ln(x^2+y^2)=C$.

$y=\frac{3x}{1-Cx^3}$.

A equação escreve-se $y'=\left(\frac{y}{x}\right)^2-2\frac{y}{x}$. Com $v=y/x$, $xv'=v^2-3v=v(v-3)$. Separando, $\frac{dv}{v(v-3)}=\frac{dx}{x}$; por frações parciais, $\frac13\ln\left|\frac{v-3}{v}\right|=\ln|x|+C$, donde $v=\frac{3}{1-Cx^3}$.

$y=e^x(C_1\cos x+C_2\operatorname{sen}x)-\frac16 e^x\operatorname{sen}(2x)$.

A característica é $r^2-2r+2=0$, com raízes $1\pm i$. Com $y=e^xu$, a equação reduz-se a $u''+u=\operatorname{sen}x\cos x=\frac12\operatorname{sen}(2x)$. Tentando $u=A\operatorname{sen}(2x)$, $-4A+A=\frac12$, logo $A=-\frac16$.

$y=\frac15\cos(2x)+\frac{21}{10}\operatorname{sen}(2x)+\frac45 e^x$.

A homogénea é $C_1\cos(2x)+C_2\operatorname{sen}(2x)$ e a particular é $\frac45 e^x$, pois $A+4A=4$. Impondo $y(0)=1$ dá $C_1=\frac15$ e $y'(0)=5$ dá $2C_2+\frac45=5$, logo $C_2=\frac{21}{10}$.

$\mathcal{L}\{f\}=\frac{1}{s^2}+\left(\frac{2}{s^3}-\frac{5}{s^2}\right)e^{-4s}-\frac{2}{s^3}e^{-6s}$.

Escrevendo $t\,u(t-4)=[(t-4)+4]u(t-4)$ e $(t-6)^2=[(t-4)^2-4(t-4)+4]$, a função decompõe-se em $f(t)=t+(t-4)^2u(t-4)-5(t-4)u(t-4)-(t-6)^2u(t-6)$. Pelo segundo teorema do deslocamento, $\mathcal{L}\{g(t-a)u(t-a)\}=e^{-as}G(s)$, donde resultam os termos com $e^{-4s}$ e $e^{-6s}$.

A série é absolutamente convergente para todo o $x$, pois $\sum\frac{1}{n^2}$ converge.

Como $|\cos(nx)|\le1$, o termo geral em módulo é majorado por $\frac{1}{n^2+1}\le\frac{1}{n^2}$. A série $\sum\frac{1}{n^2}$ é uma série de potências $p=2>1$, convergente, logo a série dada converge absolutamente pelo critério de comparação.

A série é geométrica de razão $\frac{3}{e^2}\approx0{,}406<1$, logo converge, e a soma é $\frac{3}{e^2-3}\approx0{,}684$.

$\frac{3^n}{e^{2n}}=\left(\frac{3}{e^2}\right)^n$. Como $e^2\approx7{,}389>3$, a razão satisfaz $0<r<1$, pelo que a série geométrica converge com soma $\frac{r}{1-r}=\frac{3/e^2}{1-3/e^2}=\frac{3}{e^2-3}$.

A série é absolutamente convergente, pois $\sum\frac{n}{n^3+1}$ converge por comparação com $\sum\frac{1}{n^2}$.

Tem-se $\left|\frac{(-1)^n n}{n^3+1}\right|=\frac{n}{n^3+1}\le\frac{n}{n^3}=\frac{1}{n^2}$. Como $\sum\frac{1}{n^2}$ converge, a série dos módulos converge pelo critério de comparação, logo a série alternada é absolutamente convergente.

$f(x)\sim\pi+\sum_{n=1}^{\infty}\left[\frac{3}{n}\operatorname{sen}\frac{2n\pi}{3}\cos\frac{2nx}{3}+b_n\operatorname{sen}\frac{2nx}{3}\right]$, com $b_n=-\frac{3}{2n}$ se $3\nmid n$ e $b_n=0$ se $3\mid n$.

Com período $T=3\pi$, usa-se $\omega=\frac{2\pi}{T}=\frac23$. Num período, $\int f=2\pi\cdot\pi+\pi\cdot\pi=3\pi^2$, logo $a_0=\frac{2}{3\pi}\cdot3\pi^2=2\pi$. Para $a_n$, os integrais sobre $[-\pi,0]$ e $[0,\pi]$ dão $\operatorname{sen}\frac{2n\pi}{3}$ em ambos, donde $a_n=\frac{2}{3\pi}\cdot\frac{3}{2n/3}\cdot3\pi\operatorname{sen}\frac{2n\pi}{3}=\frac{3}{n}\operatorname{sen}\frac{2n\pi}{3}$. Para $b_n$, a combinação dá $b_n=\frac{2}{3\pi}\cdot\frac{\pi}{2n/3}\left(\cos\frac{2n\pi}{3}-1\right)$, que vale $-\frac{3}{2n}$ quando $\cos\frac{2n\pi}{3}=-\frac12$ e $0$ quando $n$ é múltiplo de 3.