Análise Matemática II
Curvas, cálculo em várias variáveis, integração, campos vetoriais e uma introdução às equações diferenciais parciais.
AM II estuda curvas, funções de várias variáveis e integrais sobre regiões, percursos e superfícies. Nas curvas, importa distinguir comprimento de deslocamento. Nos campos, importa escolher a direção da variação. Na integração, o domínio e a orientação decidem os limites e o sinal antes de começarmos a calcular.
Precisamos das derivadas e primitivas de AM1 e dos vetores e produtos escalar e vetorial de ALGA. Quando uma conta bloquear, separa a escolha do método da execução: desenha, escreve a fórmula com os limites e só depois calcula.
Percurso de estudo
| Tema | O que deves conseguir fazer |
|---|---|
| Curvas paramétricas | Encontrar velocidade, triedro, planos, comprimento, curvatura e centro de curvatura, incluindo velocidade variável. |
| Limites e continuidade | Descrever domínios e níveis, reconhecer quádricas e distinguir limite conjunto, iterados e provas por estimativa. |
| Derivadas e gradiente | Distinguir parciais, derivadas direcionais e diferenciabilidade; usar jacobianas e diferenciais. |
| Cadeia e funções implícitas | Derivar composições e equações sem isolar a variável dependente. |
| Taylor e extremos | Construir aproximações, classificar candidatos e comparar extremos livres e condicionados. |
| Integrais duplos | Descrever uma região nas duas ordens, trocar a ordem com partição e usar polares, jacobianos e momentos. |
| Integrais de linha e Green | Distinguir comprimento de deslocamento, encontrar potenciais e conferir orientação. |
| Integrais triplos | Projetar sólidos, trocar a ordem e converter domínio, função e jacobiano entre coordenadas. |
| Superfícies e fluxo | Justificar o elemento de área, calcular fluxos e escolher entre cálculo direto, divergência e Stokes. |
| Equações diferenciais parciais | Classificar, separar variáveis e verificar soluções com dados iniciais e de fronteira. |
| Calor e séries de Fourier | Resolver o calor com Dirichlet e Neumann por séries de senos e cossenos. |
| Ondas e vibração | Resolver a equação das ondas com deslocamento e velocidade iniciais. |
| Laplace no retângulo | Resolver Laplace com Dirichlet, Neumann e Robin, incluindo sobreposição de dados em lados distintos. |
Cada capítulo liga a problemas de aplicação e justificação. Tenta primeiro sem ajuda e compara o teu raciocínio com a solução; as pistas disponíveis orientam os passos em que é frequente bloquear. A solução mostra também as condições do método. A cheat sheet serve para rever depois de compreenderes as páginas.
Avaliação em 2026/27
A ficha do SIGARRA, consultada em 3 de outubro de 2026, indica avaliação distribuída sem exame final: dois testes de desenvolvimento, cada um com peso de 50%, e a média arredondada às unidades. O recurso é uma prova global sobre os conteúdos do semestre. A frequência exige presença em 75% das aulas práticas; a assiduidade obtida vale também no ano imediatamente seguinte. A melhoria faz-se no recurso.
A ficha proíbe dispositivos eletrónicos, salvo os autorizados pela equipa docente ou previstos por estatuto. Datas, duração e materiais permitidos devem ser confirmados nos avisos da tua turma. Os enunciados de 2024/25 eram sem consulta e sem calculadora, mas isso não substitui as instruções da prova atual. Não transportes para este ano o mínimo de 7 por teste que aparece na ficha de 2023/24.
Fontes e âmbito
O programa usado é o de L.EIC007, 2026/27. Inclui funções vetoriais; funções de várias variáveis, limites, derivadas e diferenciabilidade; cadeia, funções implícitas, Taylor e extremos; integrais de linha, duplos e triplos; Green, superfícies, divergência e Stokes; e introdução a EDP.
A base de ensino disponível é a coleção oficial da ocorrência de 2024/25: aulas 1 a 11, cinco fichas práticas e testes. Os testes identificam expressamente 2024/25 nos próprios documentos. As aulas não indicam internamente o ano; a atribuição vem da ocorrência onde foram publicadas. O Moodle desse ano está indisponível para estudantes. As aulas 12 e 13 faltam à coleção, mas a ficha 5 confirma a profundidade pedida em EDP: separação de variáveis nos exercícios 5.35, classificação em 5.36, calor com Dirichlet e Neumann em 5.37 e 5.38, ondas com dois dados iniciais em 5.39 e Laplace no retângulo em 5.40. As três páginas novas de calor, ondas e Laplace seguem esses tipos de problema, sem afirmar que reproduzem as aulas em falta.
A bibliografia obrigatória atual é Matemática para engenharia em Rn: diferenciação, integração e tópicos adicionais, de José António Fonseca de Oliveira Correia, ISBN 9789899177956. A complementar inclui os apontamentos de Carlos Conceição António, Noções sobre Geometria Analítica e Análise Matemática, de José Augusto Trigo Barbosa, Calculus: One and Several Variables de Salas, Hille e Etgen, Problemas de integrais de linha e superfície e de séries de Fourier de Maria Luísa Romariz Madureira e Advanced Engineering Mathematics de Erwin Kreyszig. A consulta local não inclui o livro obrigatório atual.
Para completar explicações, foi usado Calculus Volume 3, OpenStax, sobretudo os capítulos 3 a 6. É um manual aberto, não a bibliografia adotada pela FEUP. O curso 18.303 do MIT é apoio para as ideias básicas de EDP. Os exemplos são próprios; a prática de EDP inclui adaptações identificadas da ficha 5 de 2024/25.
Materiais históricos de Complementos de Matemática estão preservados em xico2001pt/feup-cmat. Os Resumos AM II SofiaViP foram apoio à organização da folha de consulta anterior. Nenhuma destas fontes confirma as regras de avaliação atuais.